Theorie

 

1. Beugung am Einzelspalt

Kohärentes Licht der Wellenlänge λ falle senkrecht auf einen Spalt der Breite b (Abb. 1). Nach dem Huygensschen Prinzip sind alle Punkte der Spaltöffnung Zentren von kreisförmigen Elementarwellen. Der Übersichtlichkeit wegen sollen nicht die Wellenfronten selbst, sondern nur die Ausbreitungsrichtungen ("Strahlen"), die senkrecht auf den Wellenfronten stehen, betrachtet werden.

Abb. 1: Lage der Intensitätsminima.

 

Durch eine hinter dem Spalt angeordnete Sammellinse (im RCL kann darauf verzichtet werden) werden alle unter dem gleichen Beugungswinkel ausgehenden Strahlen in einem Punkt P der Brennebene zur Interferenz gebracht. Der optische Weg zwischen dem Geradenstück AC und dem Punkt P ist dabei für jeden Strahl gleich lang. Um eine Aussage über die Intensität des Lichts in P zu machen, genügt also die Kenntnis der Phasenbeziehung entlang des Geradenstücks AC.

Um die Lage der Intensitätsminima zu erklären, denkt man sich die Spaltbreite in eine gerade Anzahl 2n gleich breiter Streifen zerlegt. Gilt nun in der durch den Winkel festgelegten Richtung

dann hat jedes Teilbündel gegenüber seinem Nachbarn einen Gangunterschied von λ/2, d. h. Wellenberg und Wellental der Teilbündel fallen zusammen. Somit löschen sich jeweils zwei benachbarte Teilbündel gegenseitig aus, und wegen der geraden Anzahl von Teilbündeln erhält man in P vollständige Dunkelheit (destruktive Interferenz). Mit

erhält man die Bedingung für das Beugungsminimum n-ter Ordnung:

Im nächsten Schritt überlegen wir, wie man konstruktive Interferenz erhält, d. h. ein Beugungsmaximum n-ter Ordnung: Zerlegt man die Spaltbreite in eine ungerade Anzahl (2n+1) gleich breiter Streifen, dann bleibt, wenn wieder

erfüllt ist, bei obiger Überlegung ein Teilbündel übrig, das nicht durch ein benachbartes Teilbündel ausgelöscht wird. Im Punkt P entsteht somit Helligkeit, allerdings mit geringerer Intensität. Als Bedingung hierfür erhält man

.

Für kleine Winkel beschreibt die Bedingung in guter Näherung die Lage des Beugungsmaximums n-ter Ordnung. Das Maximum nullter Ordnung entsteht durch die ungebeugten Strahlen.

Zur exakten Berechnung der Intensitätsverteilung auf dem Schirm zerlegt man die Spaltbreite in Streifen der infinitesimalen Breite db. Jeder Streifen sendet eine Elementarwelle aus, die zur Amplitude auf dem Schirm einen infinitesimalen Anteil beiträgt. Durch phasenrichtige Addition dieser Beiträge erhält man für die Intensität

.

 

 

2. Beugung am Doppelspalt

Der Doppelspalt bestehe aus zwei parallelen Spalten gleicher Breite b und mit dem Mittenabstand d. Jedes der beiden durch die Spalte tretende Teilbündel erfährt dabei eine Beugung, wie sie unter 1. beschrieben ist. Es ist jedoch noch die Interferenz der Teilbündel zu berücksichtigen, die von jedem der beiden Spalte unter dem gleichen Winkel ausgehen. Dabei kommt es zu zusätzlichen Auslöschungen, wenn ihr Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches von λ/2 ist:

An die Stelle der Spaltbreite b des Einzelspalts tritt hier der Spaltabstand d. Die ausführliche Berechnung des Intensitätsverlaufes erfolgt wie schon beim Einzelspalt beschrieben und ergibt

.

Man erkennt, dass gegenüber dem Intensitätsverlauf des Einzelspaltes zusätzlich ein cos²-Faktor auftritt. Dieser beschreibt den Intensitätsverlauf, den man bei der Interferenz zweier punktförmiger kohärenter Erreger mit dem Abstand d erhielte. Der Intensitätsverlauf des Doppelspalts kann also so interpretiert werden, dass der bei zwei punktförmigen Erregern zu erwartende Intensitätsverlauf moduliert wird durch die Funktion, die die Beugung am Einzelspalt beschreibt.

Abb. 2 vergleicht den Intensitätsverlauf bei einem Einzel- und Doppelspalt für d = 3b. Beide Darstellungen sind auf die jeweilige Maximalintensität normiert.

Abb. 2: Vergleich des Intensitätsverlaufs beim Einzel-
und beim Doppelspalt für d = 3b.

 

Die Intensität im ersten Nebenmaximum des Einzelspaltes beträgt nur noch rund 5 % der Maximalintensität. In Abb. 2 wurde deshalb für die Intensität eine logarithmische Skala gewählt, um geringe Intensitäten "visuell anzuheben".

 

 

3. Beugung an Mehrfachspalten bzw. am Gitter

Ein optisches Gitter besteht aus N > 2 äquidistanten Einzelspalten ("Gitterstrichen") der Breite b und mit dem Mittenabstand d. Die Zahl der Spalte (oder Striche) pro Längeneinheit nennt man Gitterkonstante g. Hier verwenden wir die Einheit Spalte/mm. Bei der Interferenz vieler äquidistanter Einzelspalte kommt es unter einem Winkel zu konstruktiver Interferenz aller in diese Richtung laufenden Teilstrahlen, wenn je zwei benachbarte Teilstrahlen den Gangunterschied nλ haben:

In diesem Fall ergeben sich Maxima, die umso schärfer ausgeprägt bzw. kontrastreicher sind, je größer die Anzahl N der beleuchteten Spalte ist. Die Gleichung

beschreibt den Intensitätsverlauf hinter einem Gitter, das von parallelem, senkrecht zur Gitterebene einfallendem Licht beleuchtet wird. Die Gleichung besitzt die gleiche Struktur wie die Intensitätsverteilung des Doppelspalts: die erste Klammer ist wieder die Funktion, die die Beugung an einem Einzelspalt der Breite b beschreibt, während man den zweiten Faktor aus der phasenrichtigen Überlagerung von N punktförmigen Erregern mit Abstand d erhält.

Abb. 3: Vergleich des Intensitätsverlaufes beim
Einzelspalt und beim Gitter (N = 8).

 

Abb. 3 zeigt den berechneten Intensitätsverlauf für N = 8 wieder im Vergleich mit der Spaltbeugungsfunktion. Auch hier sind beide Funktionen wieder auf gleiche Maximalintensität normiert und die Intensitätsachse ist logarithmisch.